符号函数是奇函数还是偶函数

符号函数，通常指的是符号函数 \\（\\text{sgn}（x）\\），是一个数学函数，其定义如下：

\\[

\\text{sgn}（x） =

\\begin{cases}

1 & \\text{if } x > 0 \\\\

0 & \\text{if } x = 0 \\\\

-1 & \\text{if } x < 0

\\end{cases}

\\]

根据奇函数的定义，如果一个函数 \\（f（x）\\） 是奇函数，那么它必须满足 \\（f（-x） = -f（x）\\） 对于所有定义域内的 \\（x\\）。

我们可以检验符号函数是否是奇函数：

\\[

\\text{sgn}（-x） =

\\begin{cases}

-1 & \\text{if } -x > 0 \\\\

0 & \\text{if } -x = 0 \\\\

1 & \\text{if } -x < 0

\\end{cases}

\\]

这可以简化为：

\\[

\\text{sgn}（-x） =

\\begin{cases}

-1 & \\text{if } x < 0 \\\\

0 & \\text{if } x = 0 \\\\

1 & \\text{if } x > 0

\\end{cases}

\\]

对比 \\（\\text{sgn}（x）\\） 的定义，我们可以看到：

\\[

\\text{sgn}（-x） = -\\text{sgn}（x）

\\]

因此，符号函数 \\（\\text{sgn}（x）\\） 是一个奇函数

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